・喪中のときは贈ってもいいの？

お歳暮やお中元は喪中は関係ありません。贈る側、もらう側どちらかが喪中の場合でも贈っても大丈夫です。ただし、四十九日をすぎていない場合は、まだ気持ちが落ち着いてない場合もありますので、少し時期をずらしたほうがいいでしょう。
バタバタしている時に贈り物が届くと、お礼の手紙などで相手に負担をかけてしまう場合もあります。また、遺族をなぐさめる言葉の手紙などを添えるとよりいっそう気持ちが伝わると思いますよ。贈る期をずらす場合は、表書きも変えましょう。

6月下旬〜7月15日　御中元
7月16日〜立秋　暑中御見舞
立秋以降　残暑御見舞
12月上旬〜12月末　御歳暮
年明け〜松の内　御年賀
松の内〜立春　寒中御見舞
※旧盆の習慣がある関西地方は7月下旬〜8月15日までがお中元になります。

・お中元、お歳暮はどちらとも贈らないとダメ？

どちらかいっぽうでも大丈夫です。どちらかいっぽうだけを贈る場合は、1年間の感謝の気持ちということもあって御歳暮を贈ります。お中元を贈った相手には普通お歳暮も贈るものです。